六年级数学思维训练——分数裂项

分数的速算与巧算—裂项

知识导航

分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，将算式中的项进行拆分，使拆分后的项 可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是 将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的 分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需 复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它 们消去才是最根本的。 1.分数裂差型运算公式：

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b

?形式的，这里我们把较小的数写在前面，

即a

b

11

1

1(

)

a b

b a a

b

=

-

?-

(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1

(1)(2)

n n n ?+?+，

1

(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有：

1

1

1

1

[

](1)(2)

2(1)

(1)(2)

n n n n n n n =-

?+?+?+++

1

11

1

[

]

(1)(2)(3)

3(1)(2)

(1)(2)(3)

n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+

裂差型特征：

(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是 只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。

2.分数裂和型运算公式： （1）11a b a b a b

a b

a b

b

a

+=

+

=

+

??? （2）

2

2

2

2

a

b

a

b

a b a b

a b

a b

b

a

+=

+

=

+

???

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵 消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

3.整数裂项运算公式：

(1) 122334...(1)n n

?+?+?++-?1(1)(1)

3

n n n =-??+

(2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)

4

n n n n n n n ??+??+??++-?-?=

--+